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基于排队论的销售模型分析(3)
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摘要：假设 (ⅰ)顾客订货时刻是一个泊松过程,需定货 i个单位的顾客到达率为λi,i=1,2,…,m,记 λ=原始库存为也是最大库存量。顾客订货时只要有库存就立即发货
假设 (ⅰ)顾客订货时刻是一个泊松过程,需定货 i个单位的顾客到达率为λi,i=1,2,…,m,记 λ=原始库存为也是最大库存量。顾客订货时只要有库存就立即发货;若缺货就让顾客等待,且等待需求总数不超过N个单位,否则拒绝其进入系统。顾客发生i个单位需求时,系统立刻发出i个单位的订货,以补充库存;(ⅲ)系统的服务时间服从指数分布,但服务率与尚未交付的订货总数有关,系统中有i个单位尚未交付时服务率就为μi;(ⅳ)每个单位的需求缺货单位时间的损失称为第一类缺货损失[12],记为C1(C1＞0);每发生一个单位的缺货所造成的损失费称为第二类损失缺货费,记为C2(C2＞0);仓库中每个单位的存货存放单位时间的保管费用记为C3(C3＞0);仓库存放存货的每个单位空间在单位时间内所需修建维护费记为C4(C4＞0)。
设ξ(t)为时刻t尚未交付的订货总数。因为系统允许排队长度有限,故系统的平稳概率存在,设为 pn,n=1,2,…,N。根据以上假设,写出系统的状态方程组如下:
又由于所以当给定λi,μi,m,N的时候,pn就可以具体确定。
设c(s)为单位时间内的平均总费用,则
下面求c(s)的最小值。设s*为极小值点,则
令 △c(s)=c(s+1)-c(s),则由(16)式得
由(15)式可得
(ⅰ)若,则
由(19)式及(17)式得:… ≤ △c(s*-2)≤△c(s*-1≤0≤ △c(s*)≤ △c(s*+1)≤… ,由 … ≤△c(s*-2)≤△c(s*-1)≤0可得:c(s*)≤c(s*-1)≤c(s*-2)≤…,由0≤△c(s*)≤△c(s*+1)≤…可得:c(s*)≤c(s*+1)≤c(s*+2)≤…,从而c(s*)为最小值。从以上推导也可以看出求最优存储量s*的计算方法:从s=1开始分别计算△c(s)的值,使 △c(s)第一次变为非负值时的s即为所求的最优存储量s*。
(ⅱ)若则即
由于 △c(s)≥0,所以从s=1开始逐个计算(6*)右端的值,直到其变为正值,则此时对应的s值即为最优存储量(记为s*),因为当s≥s*时,△c(s)≥0,且(6*)式右端随s增大时非降,即有c(s*)≤c(s*+1)≤c(s*+2)≤…。
例 c1=2,c2=2,c3=4,c4=1,m=3,N=5,λ1=3,λ2=2,λ3=1,μi=iμ,i=1,2,3,μ=2,μ3=μ4=μ5。
解 将题设数据代入(12)～(14)式可得:p0=0.031,p1=0.273,p2=0.163,p3=0.214,p4=0.275,p5=0.044,又时,令(20)式右端为 φ(s), φ(1)=-12.52 ＜0, φ(2)=-9.26＜0,φ(3)=-6.92＜0,φ(4)=0.56＞0,所以s=4为最优存储量。
文章来源：《销售与管理》 网址: http://www.xsyglzz.cn/qikandaodu/2021/0616/1576.html